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    淺談矩陣的初等行變換在線性代數中的應用論文

    發布時間:2022-09-22 11:36:02 文章來源:SCI論文網 我要評論














    SCI論文(www.crossfitdunsborough.com):
     
      摘  要 :本文從矩陣的初等行變換出發,分別提出在矩陣、向量組、線性方程組、矩陣的特征向 量、二次型中的一些應用,并呈現對應例題,加強學生對矩陣的初等行變換的理解與應用.
      
      關鍵詞 :初等行變換;矩陣;向量組;線性方程組
      
      
      目前,《線性代數》這門課程是理工科和經管類 必開設的一 門課程,主要內容包括行列式、矩陣、線 性方程組、向量組、相似矩陣、二次型等. 矩陣的初等 行變換貫穿在整個線性代數的內容中,為了方便學 生學習,下面歸納總結了關于矩陣初等行變換在線 性代數中的應用.

    \
      
      1 矩陣中的應用
      
      1. 1 求矩陣的逆
      
      若矩陣 A 可逆,則 A - 1 也可逆,A - 1 可以表示成 若干個初等矩陣的乘積,因此可由矩陣的初等行變 換求 A - 1,即(A,E)   初等行變(E,A - 1 ),我們將矩 陣 A 和單位矩陣 E 都做初等行變換,當矩陣 A 化為 單位矩陣 E 時,單位矩陣 E 就變成了 A - 1 .
      
      \
           \

      1. 2 求矩陣的秩
      
      矩陣秩的定義是非零子式的最高階數,我們知 道初等變換不改變矩陣的秩,對矩陣 A 做初等行變 換化為行階梯形矩陣 B,由行列式的性質可知,矩陣 A 和矩陣 B 的非零子式最高階數相同,所以矩陣 A 與矩陣 B 的秩相等.
     \
          \
     
      因為矩陣 B 中有三個非零行,即 R ( B ) =3,所 以 R (A ) =3.
      
      2 在向量組中應用
      
      2. 1 求向量組的秩
      
      由于任何矩陣 A,它的行秩 =列秩 =R (A ),因 此我們只需將向量組中的向量均按列構成一個矩陣 A,向量組的秩就等于矩陣 A 的秩.
      
      例 3   求向量組 α 1  = ( 1,- 2,2 ),α2  = ( 1,- 4, 0 ),α3  = ( 1,- 2,2)的秩.
      
      解  以 \為列向量構成矩陣 A,并對矩 陣 A 進行初等行變換,把 A 化為階梯形矩陣 B.
      
      \
      
      R (A ) =R ( B ) =2,又因為向量組 α 1,α2,α3   的秩等 于矩陣 A 的秩,即向量組 α 1,α2,α3  的秩為 2.
      
      2. 2 求向量組的極大無關組
      
      由于初等行變換不改變矩陣列向量的線性關系, 因此可由初等行變換求解向量組的極大無關組.
      
      例 4    求向量組 α 1   = ( 1,2,3,0 ),α2   = ( - 1,- 2,0,3 ),α3 = (2,4,6,0 ),α4 = ( 1,- 2,- 1,0 ) 的 一個極大線性無關組.
      
      解  以\為 列 向 量 構 成 矩 陣 A, 并對矩陣 A 進行初等行變換,把 A 化為行最簡形 矩陣 B.

      \
     
      非零行首非零元 1 所在的列作極大線性無關 組,因此向量組 α 1,α2,α3,α4   的一個極大線性無關 組為 α 1,α2,α4 .
      
      3 在線性方程組中的應用
      
      通過一系列的初等行變換,將系數矩陣或增廣矩陣化為行最簡形矩陣,判斷方程組是否有解,有解 的情況下,求出通解.
      
      3. 1 解齊次線性方程組
      
      例 5   求解齊次線性方程組
     
      \
      
      3. 2 解非齊次線性方程組
      
      例  6          求  非  齊  次  線  性  方  程  組
     
     \
     
      解  對增廣矩陣 B 進行初等行變換,化為行最 簡形矩陣.
     
       \
      
      可以得出系數矩陣的秩等于增廣矩陣的秩,并 且小于未知量的個數,因此方程組有無數個解. 即它的同解方程組為\其中 x3 為自由未知量,令自由未知量 x3  =0,得特解  \
      
      導出組的同解方程組為\,其中 x3 為自由未知量,令 x3 = 1,得對應齊次線性方程組的基礎解系\所以線性方程組的通解為 α0 + cη\,其中 c 為任意常數.
      
      4 在矩陣特征向量中的應用
      
      上面我們介紹了用初等行變換求解線性方程 組,計算矩陣的特征向量就會涉及到解齊次線性方程組.
     
        \ ( 1 - λ )2 ( λ - 10 ) =0,得矩陣的特征值 λ 1  = 10,λ2 =λ3  =1.
      
      當特征值 λ 1  = 10 時,解齊次線性方程組(A -10E) X = 0, 即 A - 10E =\\得基礎解系\故 A 的對應于特征值 λ 1  =10 的全部特征向量為 c1\其中 c1  為任意非零常數.
     
      當 λ2  =λ3  =1 時,解齊次線性方程組(A - E)X=0,即 \

           其基礎解系為\A對應于 特 征 值 λ2 = λ3 =1 的向量\其 中 c2 , c3 是 不 全 為 零 的 任 意常數.
     
      矩陣的初等行變換貫穿于整個線性代數章節 中,熟練應用初等行變換是學好線性代數的基礎,學 生要在平時學習中,學會歸納總結,使每個知識點建 立聯系.
      
      參考文獻 :
      
      [ 1 ]  同濟大學數學系. 工程數學線性代數[ M ] . 北京 : 高等教育出版社,2014 .
      
      [2 ] 郝秀梅,姜慶華. 線性代數[ M ] . 北京 :經濟科學 出版社,2017 .
     
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